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Ondas mecánicas. Posición y velocidad transversal (2ºBTO)

3">:D Hola amigos del Foro de Física de Ciencias Galilei, les escribe Mario Rodríguez, en esta ocasión quiero plantearles un problema sobre Ondas Mecánicas.

El problema dice así: La ecuación de una Onda Transversal que se propaga hacia la izquierda esta dada por:

       ?
       Y = 0,12 Sen? ( 4t + x/8) con Y, t, x expresado en el S.I.

Determine la velocidad transversal para un punto localizado en x = 2m en el instante t = 0,5s.
El perfil de la onda en el instante t = 0 es una típica función senoidal.

Este problema lo he resuelto por 2 métodos distintos y me sale la misma respuesta y la respuesta que he obtenido no coincide con la clave de respuestas de mi libro, en todo caso si hubiese un error les estaré muy agradecido si me lo hacen saber.

1er Metodo: Utilizando la Función de Onda en términos del Número de Onda (K) y la frecuencia cíclica (?):

   ?
   Y = A Sen (?t ± Kx + ?) ;  

   ?                                            ?
   Y = 0,12 Sen? ( 4t + x/8) Dándole forma  Y = 0,12 Sen (4?t + (?/8)x) e identificando la Amplitud (A), la frecuencia cíclica (?) y el Número de Onda (K) tenemos:

  A = 0,12m   ? = 4? rad/s K = ?/8 = 2?/? ? ? = 16m

Luego conociendo la amplitud (A) y la frecuencia cíclica (?) puedo calcular la RAPIDEZ TRANSVERSAL de una partícula para x = 2m y para el instante t = 0,5s pero previamente debo encontrar la posición vertical de oscilación de la partícula para dicho instante:

Evaluando para x = 2m y t = 0,5s en la ecuación:

 ?
 Y = 0,12 Sen (4?t + (?/8)x) = 0,12 Sen (4?(0,5) + (?/8)(2)) = 0,12 Sen (2? + ?/4) = 0,12 Sen(?/4)

 ? 
 Y = + 0,06?2m ; Luego la rapidez transversal de la partícula será: V[/sub]y = ??¯A²- Y²¯¯¯¯

Reemplazando se obtiene: V[/sub]y = 4? ?¯(0,12)²- (0,06?2)²¯¯ = 0,24??2 m/s Este sería el MÓDULO de la Velocidad Transversal pero si quiero encontrar la VELOCIDAD TRANSVERSAL debo expresarlo con vectores unitarios y asociarle un signo (+ ó -) dependiendo si la partícula se mueve hacia arriba (Eje +Y) o hacia abajo (Eje -Y). En el problema como la Onda se propaga hacia la izquierda y la partícula se encuentra en la parte delantera de la cresta entonces se dirige hacia arriba (Esto se deduce porque al ser ? = 16m y ?/4 = 4m y x = 2m necesariamente se ubica en la parte delantera de la cresta) (Tener presente también que la gráfica de la onda es una típica función senoidal) por lo tanto su velocidad será:

  ?
  V = + 0,24 ? j m/s ......esta sería mi respuesta pero en el libro la clave es: - 0,24 ? j m/s

Realmente no entiendo a que se debe el signo (-).

Ahora resolveré el problema por otro método:

2do Método: Otra forma de expresar la Función de Onda es así:

?
Y = A Sen2? ( t/T ± x/? +?/2? ) donde T: Período; ?: Longitud de Onda y ?: Fase Inicial

De la ecuación original:

  ?                           ?
  Y = 0,12 Sen? ( 4t + x/8) ? Y = 0,12 Sen 2? ( t/(1/2) + x/16 + 0/2? ) Luego identificando A; T; ? y ? tenemos:

  A = 0,12m ;  T = 1/2 s ? ? = 2?/T = 2?/(1/2) ? ? = 4? rad/s ; ? = 16m y ? = 0

Teniendo en cuenta que las partículas del medio oscilan con M.A.S (Movimiento Armónico Simple)   
puedo utilizar la siguiente ecuación VECTORIAL de la velocidad:

 ?
 V = ?A Cos (?t + ?)......................................................(I)

 De la ecuación:

  ?
  Y = 0,12 Sen 2? ( t/(1/2) + x/16 + 0/2? ) = 0,12 Sen (4?t + (?/8)x) para x = 2m se obtiene:

  ?
  Y = 0,12 Sen (4?t + ?/4) (Ecuación del M.A.S. de la partícula ubicada en x = 2m)

 Al inspeccionar la ecuación del M.A.S. de la partícula se obtiene:

? = ?/4 rad (Este es el valor de la Fase Inicial de la partícula que oscila con M.A.S. ubicada en x=2m
          que supongo NO DEBO CONFUNDIR con la Fase Inicial de la Onda (?) que si se desea calcular primero debemos determinar hacia donde se está dirigiendo una partícula que OSCILA EN TORNO AL ORIGEN DE COORDENADAS en el instante inicial t = 0)

 Luego reemplazando A; ? y ? en la expresión (I) tenemos: 
 ?
 V = 4? (0,12) Cos (4?t + ?/4) evaluando en t = 0,5s

 ?                                                ?
 V = 0,48? Cos (2? + ?/4) = 0,48? Cos (?/4) ? V = + 0,24? j m/s

 Me volvió a salir positivo sin embargo la clave es con signo negativo (-)  

 :~: ¿En donde radicaría mi error si es que la hay? ¿O es el libro el que está equivocado?

 :wink: Amigos del Foro de Ciencias Galilei espero sus comentarios y respuestas.

  Sin más que decirle me despido. :) :D

                                            Atentamente: Mario Rodríguez

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Citar:
Y = 0,12 Sen π·( 4t + x/8) con Y, t, x expresado en el S.I.

Determine la velocidad transversal para un punto localizado en x = 2m en el instante t = 0,5s.
El perfil de la onda en el instante t = 0 es una típica función senoidal.



La ecuación es:

Y = 0,12 Sen (4πt + π·x/8)

Vy = dy/dt = 0,12·4·π·cos (4πt + π·x/8)

Para x = 2 m y t = 0,5 s nos daría:

Vy = 0,12·4·π·cos (2·π + π/4) = 0,12·4·π·√2/2 = 0,12·2·√2·π = 0,24·√2·π m/s (positiva)

Nota:

cos (2·π + π/4) = cos (π/4) = cos 45º = √2/2

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