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Oscilación Forzada (Resonancia)

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Se hace oscilar arriba y abajo, por ejemplo con la mano, el extremo superior de un muelle (círculo rojo); se supone que este movimiento es armónico, lo cual significa que es posible describirlo mediante una función coseno. Las oscilaciones del muelle así producidas se llaman "oscilaciones forzadas".

Mediante el botón "Inicio", el muelle vuelve a su posición inicial. Mediante los otros dos botones, se puede comenzar o parar y continuar la simulación. Si se elige la opción "Ralentizado", el movimiento se hará cinco veces más lento. Se puede cambiar, dentro de ciertos límites, los valores de la constante del muelle, masa, constante de atenuación y frecuencia angular de la excitación. Además, se puede elegir, mediante el botón selector correspondiente, uno de los tres diagramas siguientes:

  • Los desplazamientos de la excitación y del resonador en función del tiempo
  • La amplitud de oscilación del resonador en función de la frecuencia angular de excitación
  • El desfase entre las oscilaciones de la excitación y del resonador en función de la frecuencia angular de excitación.

Se pueden apreciar tres tipos diferentes de comportamiento:

Si la frecuencia de excitación es muy pequeña (lo que equivale a que se hace oscilar el extremo superior del muelle muy lentamente), el muelle oscila prácticamente en fase con la excitación y con su misma amplitud.

Si la frecuencia de excitación coincide con la frecuencia característica del muelle, la amplitud de oscilación va creciendo cada vez más (resonancia); en este caso, las oscilaciones del muelle están retrasadas alrededor de un cuarto de período respecto a la excitación.

Si la frecuencia de excitación es muy alta, el resonador oscila con una amplitud muy pequeña y casi en oposición de fase.

Si la constante de atenuación (debida al rozamiento) es muy pequeña, el estado transitorio adquiere relevancia; por tanto, es necesario esperar algún tiempo para observar los tipos de comportamiento mencionados.

Esta aplicación se basa en fórmulas que pueden resultar algo complicadas. Si no le gustan las matemáticas, no debería pinchar con el ratón aquí.

Oscilación Forzada: Apéndice Matemático

El muelle oscilante se caracteriza por la constante elástica D, la masa m y la constante de atenuación Γ. (Γ es una medida de la fuerza de fricción cuando se supone que ésta es proporcional a la velocidad.)
El muelle se excita mediante un movimiento hacia arriba y abajo de su extremo superior, según la fórmula yE = AE cos (ωt).

En ella, yE representa el desplazamiento de la excitación respecto a la posición media; AE es la amplitud de oscilación de la excitación, siendo ω la frecuencia angular y t el tiempo.

Se trata de encontrar el valor del desplazamiento del resonador (respecto a su posición media), y, en el instante t. Haciendo ω0 = (D/m)1/2, el problema queda descrito por la siguiente ecuación diferencial:

y’’(t) = ω02 (AE cos (ωt) – y(t))  – Γ y’(t)
Condiciones iniciales:  y(0) = 0; y’(0) = 0

Al resolver esta ecuación diferencial, hay que distinguir varios casos:

Caso 1: Γ < 2 ω0
Caso 1.1: Γ < 2 ω0; Γ ≠ 0 o ω ≠ ω0

y(t) = Aabs sin (ωt) + Ael cos (ωt)  + e–Γt/2 [A1 sin (ω1t) + B1 cos (ω1t)]
ω1 =  (ω02 – Γ2/4)1/2
Aabs = AE ω02 Γ ω / [(ω02 – ω2)2 + Γ2 ω2]
Ael = AE ω0202 – ω2) / [(ω02 – ω2)2 + Γ2 ω2]
A1 = – (Aabs ω + (Γ/2) Ael) / ω1
B1 = – Ael

Caso 1.2: Γ < 2 ω0; Γ = 0 y ω = ω0

y(t) = (AE ω t / 2) sin (ωt)

Caso 2: Γ = 2 ω0

y(t) = Aabs sin (ωt) + Ael cos (ωt)  + e–Γt/2 (A1 t + B1)
Aabs = AE ω02 Γ ω / (ω02 + ω2)2
Ael = AE ω0202 – ω2) / (ω02 + ω2)2
A1 = – (Aabs ω + (Γ/2) Ael)
B1 = – A
el

Caso 3: Γ > 2 ω0

y(t) = Aabs sin (ωt) + Ael cos (ωt)  + e–Γt/2 [A1 sinh (ω1t) + B1 cosh (ω1t)]
ω1 =  (Γ2/4 – ω02)1/2
Aabs = AE ω02 Γ ω / [(ω02 – ω2)2 + Γ2 ω2]
Ael = AE ω0202 – ω2) / [(ω02 – ω2)2 + Γ2 ω2]
A1 = – (Aabs ω + (Γ/2) Ael) / ω1
B1 = – A
el


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