1)   Sea la matriz:

Descripción: http://calculo.cc/temas/temas_algebra/matriz/imagenes/problemas/potencia/1_1.gif

a)   Calcular  A2   y   A3
b)   Halla una ley general para calcular  An
c)   Calcular  A10

 

Aplicamos el método de inducción:

Primer paso:   Se calculan las primeras potencias de A:

Descripción: http://calculo.cc/temas/temas_algebra/matriz/imagenes/problemas/potencia/1_2.gif

Segundo paso:   A partir del resultado anterior, suponemos que:

Descripción: http://calculo.cc/temas/temas_algebra/matriz/imagenes/problemas/potencia/1_3.gif

Tercer paso:   Se comprueba el resultado para la siguiente potencia   An+1

Descripción: http://calculo.cc/temas/temas_algebra/matriz/imagenes/problemas/potencia/1_4.gif


 

2)   Sea la matriz:

Descripción: http://calculo.cc/temas/temas_algebra/matriz/imagenes/problemas/potencia/2_1.gif

a)   Calcular  An
b)   Calcular  A350-A250

 

Aplicamos el método de inducción:

Primer paso:   Se calculan las primeras potencias de A:

Descripción: http://calculo.cc/temas/temas_algebra/matriz/imagenes/problemas/potencia/2_2.gif

Segundo paso:   A partir del resultado anterior, suponemos que:

Descripción: http://calculo.cc/temas/temas_algebra/matriz/imagenes/problemas/potencia/2_3.gif

Tercer paso:   Se comprueba el resultado para la siguiente potencia   An+1

Descripción: http://calculo.cc/temas/temas_algebra/matriz/imagenes/problemas/potencia/2_4.gif


 

3)   Sea la matriz:

Descripción: http://calculo.cc/temas/temas_algebra/matriz/imagenes/problemas/potencia/3_1.gif

a)   Calcula  An
b)   Halla  A22-12A2+2A

 

Aplicamos el método de inducción:

Primer paso:   Se calculan las primeras potencias de A:

Descripción: http://calculo.cc/temas/temas_algebra/matriz/imagenes/problemas/potencia/3_2.gif

Segundo paso:   A partir del resultado anterior, suponemos que:

Descripción: http://calculo.cc/temas/temas_algebra/matriz/imagenes/problemas/potencia/3_3.gif

Tercer paso:   Se comprueba el resultado para la siguiente potencia   An+1

Descripción: http://calculo.cc/temas/temas_algebra/matriz/imagenes/problemas/potencia/3_4.gif

4)   Sea la matriz:

Descripción: http://calculo.cc/temas/temas_algebra/matriz/imagenes/problemas/potencia/4_1.gif

a)   Calcula  An
b)   Halla  A250+A20

 

Aplicamos el método de inducción:

Primer paso:   Se calculan las primeras potencias de A:

Descripción: http://calculo.cc/temas/temas_algebra/matriz/imagenes/problemas/potencia/4_2.gif

Segundo paso:   A partir del resultado anterior, suponemos que:

Descripción: http://calculo.cc/temas/temas_algebra/matriz/imagenes/problemas/potencia/4_3.gif

Tercer paso:   Se comprueba el resultado para la siguiente potencia   An+1

Descripción: http://calculo.cc/temas/temas_algebra/matriz/imagenes/problemas/potencia/4_4.gif

5)   Calcula   An   para todo valor de n entero positivo y A la siguiente matriz:

Descripción: http://calculo.cc/temas/temas_algebra/matriz/imagenes/problemas/potencia/5_1.gif

 

Aplicamos el método de inducción:

Primer paso:   Se calculan las primeras potencias de A:

Descripción: http://calculo.cc/temas/temas_algebra/matriz/imagenes/problemas/potencia/5_2.gif

Segundo paso:   A partir del resultado anterior, suponemos que:

Descripción: http://calculo.cc/temas/temas_algebra/matriz/imagenes/problemas/potencia/5_3.gif

Tercer paso:   Se comprueba el resultado para la siguiente potencia   An+1

Descripción: http://calculo.cc/temas/temas_algebra/matriz/imagenes/problemas/potencia/5_4.gif

Por lo tanto, hemos demostrado que:

Descripción: http://calculo.cc/temas/temas_algebra/matriz/imagenes/problemas/potencia/5_3.gif

6)   Calcula   An   para todo valor de n entero positivo y A la siguiente matriz:

Descripción: http://calculo.cc/temas/temas_algebra/matriz/imagenes/problemas/potencia/6_1.gif

 

Aplicamos el método de inducción:

Primer paso:   Se calculan las primeras potencias de A:

Descripción: http://calculo.cc/temas/temas_algebra/matriz/imagenes/problemas/potencia/6_2.gif

Segundo paso:   A partir del resultado anterior, suponemos que:

Descripción: http://calculo.cc/temas/temas_algebra/matriz/imagenes/problemas/potencia/6_3.gif

Tercer paso:   Se comprueba el resultado para la siguiente potencia   An+1

Descripción: http://calculo.cc/temas/temas_algebra/matriz/imagenes/problemas/potencia/6_4.gif

Por lo tanto, hemos demostrado que:

Descripción: http://calculo.cc/temas/temas_algebra/matriz/imagenes/problemas/potencia/6_3.gif

7)   Sea la matriz:

Descripción: http://calculo.cc/temas/temas_algebra/matriz/imagenes/problemas/potencia/7_1.gif

a)   Calcula  An
b)   Halla  A35

 

Aplicamos el método de inducción:

Primer paso:   Se calculan las primeras potencias de A:

Descripción: http://calculo.cc/temas/temas_algebra/matriz/imagenes/problemas/potencia/7_2.gif

Segundo paso:   A partir del resultado anterior, suponemos que:

Descripción: http://calculo.cc/temas/temas_algebra/matriz/imagenes/problemas/potencia/7_3.gif

Tercer paso:   Se comprueba el resultado para la siguiente potencia   An+1

Descripción: http://calculo.cc/temas/temas_algebra/matriz/imagenes/problemas/potencia/7_4.gif

Por lo tanto, hemos demostrado que:

Descripción: http://calculo.cc/temas/temas_algebra/matriz/imagenes/problemas/potencia/7_3.gif

Descripción: http://calculo.cc/temas/temas_algebra/matriz/imagenes/problemas/potencia/7_5.gif

8)   Calcula   An   para todo valor de n entero positivo y A la siguiente matriz:

Descripción: http://calculo.cc/temas/temas_algebra/matriz/imagenes/problemas/potencia/8_1.gif

 

Descripción: http://calculo.cc/temas/temas_algebra/matriz/imagenes/problemas/potencia/8_2.gif

9)   Se considerann las siguientes:

Descripción: http://calculo.cc/temas/temas_algebra/matriz/imagenes/problemas/potencia/9_1.gif

a)   Determina   x   e   y   para que MN = NM
b)   Halla  M1995   y   M1996

 

Descripción: http://calculo.cc/temas/temas_algebra/matriz/imagenes/problemas/potencia/9_2.gif



Descripción: http://calculo.cc/temas/temas_algebra/matriz/imagenes/problemas/potencia/9_3.gif

10)   Halla todas las matrices X de la siguiente forma

Descripción: http://calculo.cc/temas/temas_algebra/matriz/imagenes/problemas/potencia/10_1.gif

tales que:

Descripción: http://calculo.cc/temas/temas_algebra/matriz/imagenes/problemas/potencia/10_2.gif

 

Descripción: http://calculo.cc/temas/temas_algebra/matriz/imagenes/problemas/potencia/10_3.gif

11)   Se consideran las matrices:

Descripción: http://calculo.cc/temas/temas_algebra/matriz/imagenes/problemas/potencia/11_1.gif

Calcular  B3  y  A3          (Sugerencia: A=B+I)

 

Descripción: http://calculo.cc/temas/temas_algebra/matriz/imagenes/problemas/potencia/11_2.gif

12)   Sea la matriz:

Descripción: http://calculo.cc/temas/temas_algebra/matriz/imagenes/problemas/potencia/12_1.gif

Prueba que  An=2n-1·A

 

Aplicamos el método de inducción:

Primer paso:   Se calculan las primeras potencias de A:

Descripción: http://calculo.cc/temas/temas_algebra/matriz/imagenes/problemas/potencia/12_2.gif

Segundo paso:   A partir del resultado anterior, suponemos que:

Descripción: http://calculo.cc/temas/temas_algebra/matriz/imagenes/problemas/potencia/12_3.gif

Tercer paso:   Se comprueba el resultado para la siguiente potencia   An+1

Descripción: http://calculo.cc/temas/temas_algebra/matriz/imagenes/problemas/potencia/12_4.gif

Por lo tanto, hemos demostrado que:

Descripción: http://calculo.cc/temas/temas_algebra/matriz/imagenes/problemas/potencia/12_3.gif

13)   Sea la matriz:

Descripción: http://calculo.cc/temas/temas_algebra/matriz/imagenes/problemas/potencia/13_1.gif

Calcula  An

 

Aplicamos el método de inducción:

Primer paso:   Se calculan las primeras potencias de A:

Descripción: http://calculo.cc/temas/temas_algebra/matriz/imagenes/problemas/potencia/13_2.gif

Segundo paso:   A partir del resultado anterior, suponemos que:

Descripción: http://calculo.cc/temas/temas_algebra/matriz/imagenes/problemas/potencia/13_3.gif

Tercer paso:   Se comprueba el resultado para la siguiente potencia   An+1

Descripción: http://calculo.cc/temas/temas_algebra/matriz/imagenes/problemas/potencia/13_4.gif

Por lo tanto, hemos demostrado que:

Descripción: http://calculo.cc/temas/temas_algebra/matriz/imagenes/problemas/potencia/13_3.gif

14)   Sea la matriz:

Descripción: http://calculo.cc/temas/temas_algebra/matriz/imagenes/problemas/potencia/14_1.gif

Prueba que se verifica que   A3 + I = 0   y utiliza esta igualdad para obtener   A10

 

Descripción: http://calculo.cc/temas/temas_algebra/matriz/imagenes/problemas/potencia/14_2.gif



Sabiendo que   A3 + I = 0 , tenemos que:   A3 = - I

Descripción: http://calculo.cc/temas/temas_algebra/matriz/imagenes/problemas/potencia/14_3.gif

15)   Sea la matriz:

Descripción: http://calculo.cc/temas/temas_algebra/matriz/imagenes/problemas/potencia/15_1.gif

a)   Comprueba que verifica que   A3 + I = 0
b)   Calcula   A13
c)   Basándote en los apartados anteriores y sin recurrir al cálculo de inversas, halla la matriz   X   que verifica la igualdad   A2X + I = A

 

Descripción: http://calculo.cc/temas/temas_algebra/matriz/imagenes/problemas/potencia/15_2.gif



Descripción: http://calculo.cc/temas/temas_algebra/matriz/imagenes/problemas/potencia/15_3.gif



Descripción: http://calculo.cc/temas/temas_algebra/matriz/imagenes/problemas/potencia/15_4.gif

Ejercicio 1

Descripción: ejercicios resueltos de calcular la fórmula general de las 
     	potencias de una matriz

Ver Solución

Calculamos las primeras potencias de la matriz:

Descripción: ejercicios resueltos de calcular la fórmula general de las 
     											potencias de una matriz

No es necesario calcular más potencias ya que como A2=A, entonces siempre estamos calculando el producto de la misma matriz.

Por tanto, las potencias de A son una matriz constante:

Descripción: ejercicios resueltos de calcular la fórmula general de las 
     											potencias de una matriz

Ejercicio 2

Descripción: ejercicios resueltos de calcular la fórmula general de las 
     	potencias de una matriz

Ver Solución

Calculamos las primeras potencias de la matriz:

Descripción: ejercicios resueltos de calcular la fórmula general de las 
     											potencias de una matriz

Con las potencias calculadas ya se puede deducir que la expresión general de las potencias de A es

Descripción: ejercicios resueltos de calcular la fórmula general de las 
     											potencias de una matriz

Ejercicio 3

Descripción: ejercicios resueltos de calcular la fórmula general de las 
     	potencias de una matriz

Ver Solución

Calculamos las primeras potencias de la matriz:

Descripción: ejercicios resueltos de calcular la fórmula general de las 
     											potencias de una matriz

Deducimos que la expresión general de las potencias de A es

Descripción: ejercicios resueltos de calcular la fórmula general de las 
     											potencias de una matriz

Ejercicio 4

Descripción: ejercicios resueltos de calcular la fórmula general de las 
     	potencias de una matriz

Ver Solución

Calculamos las primeras potencias de la matriz:

Descripción: ejercicios resueltos de calcular la fórmula general de las 
     											potencias de una matriz

Deducimos que la expresión general es

Descripción: ejercicios resueltos de calcular la fórmula general de las 
     											potencias de una matriz

Ejercicio 5

Descripción: ejercicios resueltos de calcular la fórmula general de las 
     	potencias de una matriz

Ver Solución

Calculamos las primeras potencias de la matriz:

Descripción: ejercicios resueltos de calcular la fórmula general de las 
     											potencias de una matriz

No calculamos más potencias porque es fácil deducir que la expresión general es

Descripción: ejercicios resueltos de calcular la fórmula general de las 
     											potencias de una matriz

Ejercicio 6

Descripción: ejercicios resueltos de calcular la fórmula general de las 
     	potencias de una matriz

Ver Solución

Calculamos las primeras potencias de la matriz:

Descripción: ejercicios resueltos de calcular la fórmula general de las 
     											potencias de una matriz

La fórmula general de las potencias de A depende de si el exponente es par o impar:

Descripción: ejercicios resueltos de calcular la fórmula general de las 
     											potencias de una matriz

Ejercicio 7

Descripción: ejercicios resueltos de calcular la fórmula general de las 
     	potencias de una matriz

Ver Solución

Aunque algunas entradas de la matriz son parámetros, podemos calculamos las primeras potencias de la matriz:

Descripción: ejercicios resueltos de calcular la fórmula general de las 
     											potencias de una matriz

La fórmula general para las potencias de A es

Descripción: ejercicios resueltos de calcular la fórmula general de las 
     											potencias de una matriz

Ejercicio 8

Descripción: ejercicios resueltos de calcular la fórmula general de las 
     	potencias de una matriz

Ver Solución

Calculamos las primeras potencias de la matriz:

Descripción: ejercicios resueltos de calcular la fórmula general de las 
     											potencias de una matriz

Parece que las potencias de orden par son matrices diagonales y las de orden impar son diagonales al revés:

Descripción: ejercicios resueltos de calcular la fórmula general de las 
     											potencias de una matriz

Ejercicio 9

Descripción: ejercicios resueltos de calcular la fórmula general de las 
     	potencias de una matriz

Ver Solución

Para esta matriz debemos calcular bastantes potencias puesto que existe un patrón que se repite cada 6 potencias:

Descripción: ejercicios resueltos de calcular la fórmula general de las 
     											potencias de una matriz

A partir de aquí, la secuencia se repite. La secuencia es

Descripción: ejercicios resueltos de calcular la fórmula general de las 
     											potencias de una matriz

Por tanto, la fórmula general de las potencias de A es

Descripción: ejercicios resueltos de calcular la fórmula general de las 
     											potencias de una matriz

Ejercicio 10

Descripción: ejercicios resueltos de calcular la fórmula general de las 
     	potencias de una matriz

Ver Solución

Calculamos las primeras potencias de la matriz:

Descripción: ejercicios resueltos de calcular la fórmula general de las 
     											potencias de una matriz

Ya podemos deducir que las siguientes potencias son:

Descripción: ejercicios resueltos de calcular la fórmula general de las 
     											potencias de una matriz

Para no tener que escribir tantas matrices, definimos las siguientes:

Descripción: ejercicios resueltos de calcular la fórmula general de las 
     											potencias de una matriz

De este modo, la expresión general de las potencias es:

Descripción: ejercicios resueltos de calcular la fórmula general de las 
     											potencias de una matriz

 

Hallar el término n-simo de las siguientes matrices:
Ejercicio Solución
Dada la matriz:
\( A=\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} \right)\)
Calcular A23
\( A^n=\left( \begin{array}{cc} 1 & 2n \\ 0 & 1 \end{array} \right)\)
Hallar la matriz enesima
\( \left( \begin{array}{ccC} 1 & 1/7 & 1/7 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array} \right)\)
\( A^n=\left( \begin{array}{cc} 1 & n/7 & n/7 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)\)