Aplicaciones Lineales,

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* Sea la aplicación lineal T: P₂[x] → P₂[X] definida por T(a +bX + cX^2) = b + 2cX.
a) Calcula la matriz A de la aplicación T respecto a la base $B=\left \{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3 \right \}$ con $\vec{v}_1 = X^2, \vec{v}_2 = X, \vec{v}_3 = 1$ .
b) Calcula la matriz A* de la aplicación T respecto a la base $B^*=\left \{ \vec{v}_1^*, \vec{v}_2^*, \vec{v}_3^* \right \}$ con $\vec{v}_1^* = 1, \vec{v}_2^* = X, \vec{v}_3^* = X^2$ .
c) Calcula T(3X -4X²): i) directamente, ii) a partir de A y iii) a partir de A*.

* Sea T: $\Re^3 \rightarrow \Re^3$ una aplicación lineal definida $T \left ( \begin{matrix} x\\ y\\ z \end{matrix} \right )=\left ( \begin{matrix} x+2y-z\\ -y\\ x+7z \end{matrix} \right )$
.
a) Calcula la matriz A estándar de T.
b) Calcula la matriz A* de T asociada a la base $B^*=\left \{ \vec{u}_1=\left ( \begin{matrix} 0\\1\\1\end{matrix} \right ), \vec{u}_2=\left ( \begin{matrix} -14\\16\\2\end{matrix} \right ), \vec{u}_3=\left ( \begin{matrix} -2\\4\\7\end{matrix} \right ) \right \}$
c) ¿Las matrices A y A* son matrices semejantes? ¿Por qué?

* Sea T: Sea T : $\Re^4 \rightarrow \Re ^3$ una aplicación lineal definida $T \left ( \begin{matrix} x\\ y\\ z \\ t \end{matrix} \right )=\left ( \begin{matrix} 7x+2y-z+t\\ z+y\\ -z \end{matrix} \right )$
a) Calcula la matriz de T respecto a las bases B y B* siendo $B=\left \{ \vec{u}_1=\left ( \begin{matrix} 0\\1\\1\\1 \end{matrix} \right ), \vec{u}_2=\left ( \begin{matrix} 2\\1\\-1\\-1\end{matrix} \right ), \vec{u}_3=\left ( \begin{matrix} 1\\4\\-1\\3\end{matrix}\right ), \vec{u}_4=\left ( \begin{matrix} 6\\9\\4\\2 \end{matrix} \right ) \right \}$ y $B^*=\left \{ \vec{v}_1=\left ( \begin{matrix} 0\\8\\8 \end{matrix} \right ), \vec{v}_2=\left ( \begin{matrix} -7\\8\\1\end{matrix} \right ), \vec{v}_3=\left ( \begin{matrix} -6\\9\\1\end{matrix}\right ) \right \}$ .
b) Halla la imagen de $\vec{u}=3\vec{u}_1 + \vec{u}_2-\vec{u}_4\$ , mediante dos métodos diferentes.

* Sea $A = \begin{pmatrix} 1& 4 &5& 0& 9 \\ 3 &-2 &1 &0 -&1\\ -1& 0&- 1 &0 -&1\\ 2& 3 &5 &1 &8 \end{pmatrix}$ la matriz estándar de la aplicación lineal T: $\Re^5 \rightarrow \Re ^4$ .

a) Encuentra una base para el subespacio KerT y otra para el subespacio ImT.
b) Calcula T( $\vec{x}$ ).

* Sea $A=\left ( \begin{matrix} 1 & 3 & -1\\ 2 & 0 & 5\\ 6 & -2 & 4 \end{matrix} \right )$ la matriz asociada a la aplicación lineal T: P₂[x] → P₂[X] respecto a la base $B=\left \{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3 \right \}$ con $\vec{v}_1 = 3X+X^2, \vec{v}_2 = -1+3X + 2X^2 \:\:\:y\:\: \: \vec{v}_3 = 3 + 7X + 2X^2$ .
a) Define matriz asociada a la aplicación lineal T: T: P₂[x] → P₂[X] respecto a la base $B=\left \{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3 \right \}$ .
b) Calcula $T(\vec{v}_1), \: T(\vec{v}_2) \:\:\:y\:\: \: T(\vec{v}_3)$
c) Calcula Halla T(1 + X²).

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