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Problema 9946

Miércoles 4 de abril de 2018

Resuelve la siguiente integral:

\int \frac{4^x+6^x}{2^{x-1}}\: dx

Solución:
Separamos la integral en dos sumandos

\int \frac{4^x+6^x}{2^{x-1}}\: dx\:=\:\int \left( \frac{4^x}{2^{x-1}} + \frac{6^x}{2^{x-1}}\:\right) dx \:=\:\int \frac{4^x}{2^{x-1}} \:dx\: + \: \int \frac{6^x}{2^{x-1}}\: dx

Calculamos cada una de ellas por separado:

\int \frac{4^x}{2^{x-1}} \:dx\:=\:\int \frac{4^x}{2^x/2} \:dx\:=\:2\:\int \frac{4^x}{2^x}} \:dx\:=\:2\:\int \left(\frac{4}{2} \right)^x \:dx\:=\:2\:\int 2^x \:dx\:=\:2\:\frac{2^x}{ln\:2}
\int \frac{6^x}{2^{x-1}}\: dx\:=\:\int \frac{6^x}{2^x/2} \:dx\:=\:2\:\int \frac{6^x}{2^x}} \:dx\:=\:2\:\int \left(\frac{6}{2} \right)^x \:dx\:=\:2\:\int 3^x \:dx\:=\:2\:\frac{3^x}{ln\:3}

Luego:

\int \frac{4^x+6^x}{2^{x-1}}\: dx\:=\:2\:\frac{2^x}{ln\:2}\:+\:\:2\:\frac{3^x}{ln\:3}\:+\:c